Richard Dedekind - Che cosa sono i numeri?

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1) Introduzione
2) Lettura
3) Guida alla lettura
4) Guida alla Comprensione

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Il passo proviene da una breve opera di Dedekind pubblicata nel 1888, focalizzata sulla definizione del concetto aritmetico di numero tramite l'uso di concetti logici come quelli di funzione e insieme. Questa memoria rappresenta un momento cruciale nel processo di aritmetizzazione dell'analisi che ha contribuito alla rivoluzione assiomatica di Hilbert e al rigetto di approcci psicologistici, come quelli proposti da John Stuart Mill, riguardo ai fondamenti della matematica. Il testo è significativo anche perché Dedekind, oltre a presentare la sua teoria e il suo programma di ricerca, ne traccia la storia e li inserisce nel contesto del dibattito matematico del suo tempo.

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Non si deve nella scienza prestar fede senza dimostrazione a ciò che è dimostrabile. Per quanto questa richiesta apparisca chiara, mi pare che essa non sia soddisfatta, anche se si tien conto dei lavori più recenti, nemmeno nei fondamenti della scienza più semplice e cioè di quella parte logica che tratta della teoria dei numeri.

Nel concepire l'aritmetica (algebra, analisi) soltanto come una parte della logica io intendo già di considerare il concetto di numero come del tutto indipendente dalle rappresentazioni o idee dello spazio e del tempo e di riconoscere piuttosto in questo concetto una emanazione diretta delle pure leggi del pensiero. Alla domanda espressa dal titolo di questo scritto io rispondo: i numeri sono libere creazioni dello spirito umano, essi servono come mezzo per distinguere più facilmente e più nettamente le cose.

La costruzione puramente logica della scienza dei numeri, e il campo continuo dei numeri in essa acquisito, ci danno i mezzi sufficienti per analizzare con esattezza le nostre rappresentazioni dello spazio e del tempo, avendo la facoltà di riferirle al campo numerico formatosi nel nostro spirito.

Se si segue attentamente quello che noi facciamo nel computo di un insieme di oggetti, si è condotti a considerare la capacità dello spirito di riferire oggetti a oggetti, di far corrispondere un oggetto ad un altro ovvero di rappresentare un oggetto mediante un altro oggetto, capacità senza la quale è affatto impossibile ogni pensiero. Sopra questo unico fondamento, del resto assolutamente necessario, deve essere costruita, a mio parere, tutta la scienza dei numeri.

Già prima che fosse pubblicato il mio lavoro sopra la continuità io ebbi l'idea di realizzare una tale costruzione. Ma soltanto dopo la pubblicazione di esso e con molte interruzioni, causate da altri lavori necessari, ho gettato su pochi fogli nel periodo 1872-1878 le basi di un primo schizzo di cui allora parecchi matematici hanno preso visione, discutendone parzialmente con me il contenuto. Questo schizzo portava lo stesso titolo e conteneva, in sostanza, se pur non perfettamente ordinate, tutte le idee fondamentali del presente scritto, il quale non è altro che uno sviluppo accurato di tali idee. I punti fondamentali sono: la netta distinzione del finito dall'infinito, la nozione del numero di oggetti, la dimostrazione della validità logica del metodo d'induzione completa ovvero dell'argomentazione ricorrente da n a n+1, e anche la dimostrazione che la definizione induttiva (ovvero per ricorrenza) è completa e scevra da ogni contraddizione. [...]

In conformità allo scopo di questo lavoro, io mi limito a considerare la serie dei così detti numeri naturali. Ho mostrato nel mio scritto precedente sulla continuità (1872), almeno nell'esempio dei numeri irrazionali, in quale modo si debba effettuare l'estensione graduale del concetto di numero, l'introduzione dello zero, dei numeri negativi, fratti, irrazionali e complessi, riferendosi sempre ai concetti già stabiliti, e ciò senza far intervenire nozioni estranee. [...] È appunto questa concezione che ci fa apparire come una cosa evidente che ogni teorema di algebra e di analisi superiore, per quanto remoto, si può enunciare come un teorema sui numeri naturali. [...]

Colgo qui l'occasione per fare ancora alcune osservazioni relative al mio scritto sopra accennato sulla continuità e sui numeri irrazionali. La teoria dei numeri irrazionali, ideata da me nell'autunno del 1858 ed esposta in tale scritto, si appoggia su quel fenomeno del campo dei numeri razionali al quale ho dato il nome di «sezione» e che per il primo io ho studiato in modo completo, e conduce alla dimostrazione culminante della continuità del nuovo campo dei numeri reali. Questa teoria mi sembra più semplice, direi anzi più tranquilla, di quelle sviluppate da Weierstrass e da G. Cantor, sebbene anch'esse di rigore perfetto.

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1) Che cosa intende Dedekind, dicendo che l'aritmetica è una parte della logica?
Dedekind, affermando che l'aritmetica è una parte della logica, intende che il concetto di numero deve essere considerato indipendente dalle rappresentazioni o idee dello spazio e del tempo. Egli vede il concetto di numero come un'emanazione diretta delle pure leggi del pensiero, quindi una costruzione logica piuttosto che qualcosa di derivato dall'esperienza sensoriale o fisica. Dedekind sostiene che i numeri sono libere creazioni dello spirito umano, utilizzate per distinguere più facilmente e nettamente le cose. Questo approccio implica che l'intera scienza dei numeri deve essere costruita sulla capacità dello spirito di far corrispondere e rappresentare oggetti, una capacità logica fondamentale per ogni pensiero.

2) Qual è il vantaggio di avere una scienza dei numeri costruita in modo puramente logico?
Il vantaggio di avere una scienza dei numeri costruita in modo puramente logico, secondo il testo di Dedekind, è che essa permette di considerare il concetto di numero come completamente indipendente dalle rappresentazioni dello spazio e del tempo, riconoscendo invece in questo concetto una emanazione diretta delle pure leggi del pensiero. Dedekind afferma che i numeri sono "libere creazioni dello spirito umano" che servono per distinguere più facilmente e nettamente le cose. Inoltre, una costruzione puramente logica della scienza dei numeri fornisce i mezzi necessari per analizzare con esattezza le rappresentazioni dello spazio e del tempo, riferendole al campo numerico formatosi nello spirito umano. Questo approccio permette di fondare tutta la scienza dei numeri sulla capacità dello spirito di riferire oggetti a oggetti, di far corrispondere un oggetto a un altro, che è una capacità essenziale per il pensiero.

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1) La scienza dei numeri è legata ad alcune fondamentali operazioni del pensiero. Quali?
Secondo il testo, la scienza dei numeri è legata alla capacità dello spirito di:

Riferire oggetti a oggetti
Far corrispondere un oggetto ad un altro
Rappresentare un oggetto mediante un altro oggetto

Queste capacità sono considerate fondamentali e necessarie per la costruzione della scienza dei numeri.

2) Si tratta secondo Dedekind di operazioni che hanno una base di tipo empiristico (sia essa esperienza interna o esterna)? Motiva la risposta.
Secondo Dedekind, le operazioni aritmetiche non hanno una base di tipo empiristico, sia essa esperienza interna o esterna. Questo emerge chiaramente da vari punti del testo che hai fornito.

Innanzitutto, Dedekind afferma:

"Nel concepire l’aritmetica (algebra, analisi) soltanto come una parte della logica io intendo già di considerare il concetto di numero come del tutto indipendente dalle rappresentazioni o idee dello spazio e del tempo e di riconoscere piuttosto in questo concetto una emanazione diretta delle pure leggi del pensiero."

Questo passaggio evidenzia che Dedekind considera i numeri come concetti logici indipendenti dalle esperienze empiriche. Egli vede i numeri come creazioni dello spirito umano, radicate nelle leggi del pensiero piuttosto che in esperienze sensoriali.

Inoltre, Dedekind ribadisce:

"Alla domanda espressa dal titolo di questo scritto io rispondo: i numeri sono libere creazioni dello spirito umano, essi servono come mezzo per distinguere più facilmente e più nettamente le cose."

Questo conferma ulteriormente che i numeri, per Dedekind, sono prodotti del pensiero umano e non derivano dall'esperienza esterna.

Quindi, Dedekind rifiuta un approccio empiristico alla matematica, sostenendo invece che i numeri e le operazioni aritmetiche sono fondati su principi logici e sono creazioni libere della mente umana.

3) Dedekind afferma anche che «i numeri sono libere creazioni dello spirito umano». Intende dire con ciò che la scienza dei numeri è arbitraria?
Dedekind non intende dire che la scienza dei numeri è arbitraria. Quando afferma che «i numeri sono libere creazioni dello spirito umano», Dedekind vuole sottolineare che i numeri sono concetti ideati dall'uomo per facilitare la distinzione e la categorizzazione degli oggetti. Tuttavia, Dedekind sostiene anche che la costruzione della scienza dei numeri deve essere basata su principi logici rigorosi. Egli ritiene che il concetto di numero sia una "emanazione diretta delle pure leggi del pensiero" e che la scienza dei numeri debba essere costruita su un fondamento logico necessario, senza dipendere da rappresentazioni spaziali o temporali. Pertanto, la scienza dei numeri non è arbitraria ma segue leggi logiche precise e rigorose.

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