Logaritmi ed Esponenziali: Guida Completa con Esercizi Risolti

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1) Introduzione
2) Funzioni Esponenziali: Definizione e Proprietà
3) Logaritmi: Definizione e Proprietà
4) Esercizi Risolti per Ogni Livello
5) Applicazioni Avanzate dei Logaritmi e degli Esponenziali
6) Conclusioni

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I logaritmi e le funzioni esponenziali sono strumenti fondamentali in matematica, con applicazioni in fisica, economia, informatica e biologia.
Questa guida copre tutto: dalla definizione alle proprietà avanzate, con esercizi per ogni livello di difficoltà.

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Una funzione esponenziale ha la forma: f(x) = a^x
dove:
a è la base (un numero positivo, a > 0 e a ≠ 1),
x è l'esponente.

Esempi di funzioni esponenziali:
2^x, 3^x, e^x
Dove e ~ 2.718 è la base dei logaritmi naturali, chiamata numero di Eulero.

Proprietà delle funzioni esponenziali
Moltiplicazione di potenze con la stessa base:
a^m · aⁿ = a^m+n

Divisione di potenze con la stessa base:
a^m / aⁿ = a^m-n

Potenza di una potenza:
(a^m)ⁿ = a^m·n

Esponente negativo:
a^-n = 1 / aⁿ

Esponente frazionario:
a^m/n = ⁿ√a^m

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Il logaritmo è l'operazione inversa dell'esponenziale. Il logaritmo in base a di un numero b è l'esponente a cui bisogna elevare a per ottenere b: log_ab = x se e solo se a^x = b

Esempi:
log₂8 = 3 perché 2³ = 8
log₃27 = 3 perché 3³ = 27

Tipi di logaritmi
Logaritmo decimale: log_x(base 10)
Logaritmo naturale: ln_x (base e)

Proprietà fondamentali dei logaritmi
Logaritmo di un prodotto:
log_a(xy) = log_ax + log_ay

Logaritmo di un quoziente:
log_a(x / y) = log_ax - log_ay

Logaritmo di una potenza:
log₂(xⁿ) = nlog_ax

Cambiamento di base:
log_ab = log_cb / log_ca

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Esercizio 1 - Base: Calcolo di Esponenziali
Calcola: 3⁴ e 5^-2
Soluzione:
3⁴ = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
5^-2 = 1 / 5² = 1 / 25

Esercizio 2 - Base: Calcolo di Logaritmi
Calcola log₂16 e log₅125
Soluzione:
log₂16 = 4 (perché 2₄ = 16)
log₂125 = 3 (perché 5₃ = 125)

Esercizio 3 - Intermedio: Semplificazione di Logaritmi
Semplifica l'espressione: log₃(27·9)
Soluzione:
Usiamo la proprietà del prodotto:
log₃(27·9) = log₃27 + log₃9
Poiché 27 = 3₃ e 9 = 3₂, otteniamo:
log₃27 = 3, log₃9 = 2
log₃(27·9) = 3 + 2 = 5

Esercizio 4 - Avanzato: Risoluzione di un'Equazione Logaritmica
Risolvi l'equazione: log₂(x - 1) + log₂(x + 3) = 3
Soluzione:
Usiamo la proprietà del prodotto:
log₂[(x - 1)(x + 3)] = 3
Convertiamo in forma esponenziale:
(x - 1)(x + 3) = 2₃
x₂ + 3x - x - 3 = 8
x₂ + 2x - 11 = 0
Risolvendo con la formula del delta:
Δ = 2₂ - 4(1)(-11) = 4 + 44 = 48
x = (-2 ± √48) / 2 = (-2 ± 4√3) / 2 = -1 ± 2√3
Essendo x − 1 > 0, scegliamo x = −1 + 2√3

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✅ Crescita ed Estinzione: modelli di crescita delle popolazioni e decadimento radioattivo
✅ Economia e Finanza: interesse composto, crescita esponenziale dei capitali
✅ Informatica: complessità algoritmica (ad es. O(log_n)
✅ Fisica e Ingegneria: equazioni differenziali, onde, vibrazioni

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Ora hai una panoramica completa su logaritmi ed esponenziali, con esercizi per ogni livello.
Se vuoi migliorare, prova a risolvere esercizi più difficili e applica questi concetti ai problemi reali!

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