Seno, Coseno e Tangente: Guida Completa con Esercizi Risolti

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1) Introduzione
2) Definizione di Seno, Coseno e Tangente
3) Il Cerchio Goniometrico e le Funzioni Trigonometriche
4) Identità Trigonometriche Fondamentali
5) Esercizi Pratici
6) Applicazioni delle Funzioni Trigonometriche
7) Conclusioni

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Il seno, il coseno e la tangente sono concetti fondamentali della trigonometria, essenziali per risolvere problemi di geometria, fisica e ingegneria.
In questa guida partiremo dalle basi e arriveremo a concetti avanzati, con esercizi risolti per tutti i livelli.

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Il seno, il coseno e la tangente sono funzioni trigonometriche che si basano sui triangoli rettangoli. Supponiamo di avere un triangolo rettangolo con:

- Ipotenusa = il lato più lungo, opposto all'angolo retto
- Cateto opposto = il lato di fronte all’angolo considerato
- Cateto adiacente = il lato accanto all’angolo considerato

Le tre funzioni principali si definiscono come:

sin(θ) = cateto opposto / ipotenusa
cos(θ) = cateto adiacente / ipotenusa
tan(θ) = cateto opposto / cateto adiacente

Esempio Pratico
Immaginiamo un triangolo rettangolo con:
Ipotenusa = 10
Cateto opposto = 6
Cateto adiacente = 8

Calcoliamo le funzioni trigonometriche:
sin(θ) = 6 / 10 = 0.6
cos(θ) = 8 / 10 = 0.8
tan(θ) = 6 / 8 = 0.75

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Per generalizzare seno, coseno e tangente a tutti gli angoli, utilizziamo il cerchio goniometrico (raggio = 1).
Il seno di un angolo corrisponde alla coordinata y del punto sulla circonferenza.
Il coseno corrisponde alla coordinata x.
La tangente è il rapporto y / x.

Valori Notevoli:
sin 0° = 0
cos 0° = 1
tan 0° = 0
sin 30° = 1 / 2
cos 30° = √3 / 2
tan 30° = √3 / 3
sin 45° = √2 / 2
cos 45° = √2 / 2
tan 45° = 1
sin 60° = √3 / 2
cos 60° = 1 / 2
tan 60° = √3
sin 90° = 1
cos 90° = 0
tan 90° = non definita

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Le identità trigonometriche permettono di semplificare calcoli e risolvere equazioni trigonometriche.

Identità di base
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
1 + tan²(θ) = 1 / cos²(θ)
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ)

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Esercizio 1: Triangolo Rettangolo (Base)

Problema:
Un triangolo rettangolo ha un'ipotenusa di 13 cm e un cateto di 5 cm. Calcola seno, coseno e tangente dell'angolo opposto al cateto noto.

Svolgimento:
Troviamo l'altro cateto con il teorema di Pitagora:
c² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 => c = √144 = 12

Ora calcoliamo:
sin(θ) = 5 / 13
cos(θ) = 12 / 13
tan(θ) = 5 / 12

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Esercizio 2: Equazione Trigonometrica (Intermedio)

Problema:
Risolvi l’equazione: 2sin(x) - 1 = 0 con 0° ≤ x ≤ 360°

Svolgimento:
sin(x) = 1 / 2
Dai valori notevoli:
x = 30° e x = 150°

Risultato:
x = 30°, 150°

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Esercizio 3: Formula di De Moivre (Avanzato)

Problema:
Calcola (cos 45° + isin 45°)⁴

Svolgimento:
Usiamo la formula di De Moivre:
(cosθ + isinθ)ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ)
(cos 45° + isin 45°)⁴ = cos(180°) + isin(180°) = −1 +i0 = −1

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Le funzioni trigonometriche trovano applicazione in:

✅ Fisica: oscillazioni armoniche, circuiti elettrici, onde sonore
✅ Ingegneria: calcoli strutturali, misurazioni angolari
✅ Matematica avanzata: numeri complessi, analisi di Fourier

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Ora hai una panoramica completa sul seno, coseno e tangente, dai concetti base alle applicazioni avanzate.
Se vuoi approfondire, prova a risolvere nuovi esercizi e sperimenta la trigonometria nel mondo reale!

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