L'Equazione della Circonferenza: Guida Completa con Esercizi Risolti

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1) Introduzione
2) Definizione della Circonferenza
3) Equazione della Circonferenza nei Diversi Casi
4) Posizione di un Punto Rispetto alla Circonferenza
5) Esercizi Risolti per Tutti i Livelli
6) Conclusioni

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L'equazione della circonferenza è uno dei concetti più importanti della geometria analitica. In questa guida partiremo dalle basi e arriveremo a concetti avanzati, arricchendo il tutto con esercizi risolti per tutti i livelli.

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Una circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso chiamato centro.

Se il centro è C(h, k) e il raggio è r, la circonferenza è definita dalla relazione:
√(x − h)² + (y − k)² = r
Elevando al quadrato entrambi i membri, otteniamo l'equazione canonica della circonferenza:
(x − h)² + (y − k)² = r²

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Caso 1: Circonferenza con Centro nell'Origine
Se il centro è l'origine (0,0), l'equazione si semplifica in: x² + y² = r²
Esempio: Se r = 5, l'equazione diventa: x² + y² = 25

Caso 2: Circonferenza con Centro Generico C(h, k)
Per una circonferenza con centro in un punto qualsiasi (h, k) e raggio r, l'equazione generale è:
(x − h)² + (y − k)² = r²
Esempio: Se il centro è (3, −2) e il raggio r = 4, allora: (x − 3)² + (y − 2)² = 16

Caso 3: Equazione Generale della Circonferenza
Molte volte l'equazione della circonferenza appare in forma espansa:
x² + y² + Ax + By + C = 0
Questa forma si ottiene espandendo l'equazione canonica.

Come trovare il centro e il raggio?
Per passare dalla forma generale alla forma canonica, completiamo il quadrato.
Esempio: Data l'equazione x² + y² - 6x + 8y - 11 = 0
completiamo il quadrato:
1) Raggruppiamo x e y:
(x² - 6x) + (y² + 8y) = 11
2) Completiamo il quadrato:
(x - 3)² - 9 + (y + 4)² - 16 = 11
(x - 3)² + (y + 4)² = 36

Centro: (3, −4), Raggio: r = 6

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Per capire se un punto P(x₀, y₀) appartiene, è interno o esterno alla circonferenza, basta sostituire le coordinate nell'equazione e confrontare il risultato con r².

Se (x₀ − h)² + (y₀ − k)² = r² -> il punto appartiene alla circonferenza.
Se (x₀ − h)² + (y₀ − k)² < r² -> il punto è interno.
Se (x₀ − h)² + (y₀ − k)² > r² -> il punto è esterno.

Esempio: Data la circonferenza (x − 2)² + (y + 1)² = 25, il punto P(6, 2) è interno, esterno o sulla circonferenza?
(6 − 2)² + (2 + 1)² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
Il punto appartiene alla circonferenza!

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Esercizio 1 - Determinare l'Equazione della Circonferenza (Base)
Trova l'equazione della circonferenza con centro (4, −3) e raggio 5.
Soluzione:
Usando la formula:
(x − 4)² + (y + 3)² = 5² (x − 4)² + (y + 3)² = 25

Esercizio 2 - Determinare Centro e Raggio (Intermedio)
Quali sono centro e raggio della circonferenza con equazione:
x² + y² - 10x + 4y + 20 = 0
Soluzione:
Completiamo il quadrato.
(x² − 10x) + (y² + 4y) = 20
Aggiungiamo i termini mancanti:
(x − 5)² - 25 + (y + 2)² - 4 = -20
(x − 5)² + (y + 2)² = 9
Centro: (5, −2), Raggio: 3

Esercizio 3 - Posizione di una Retta rispetto alla Circonferenza (Avanzato)
La retta y = 2x − 1 interseca la circonferenza x² + y² − 4x − 6y + 9 = 0?
Soluzione:
Sostituiamo y = 2x − 1 nell'equazione della circonferenza e risolviamo.
x² + (2x − 1)² - 4x - 6(2x - 1) + 9 = 0
x² + 4x² - 4x + 1 - 4x - 12x + 6 + 9 = 0
5x² - 20x + 16 = 0
Troviamo il discriminante:
Δ = (-20)² - 4(5)(16) = 400 - 320 = 80
Poiché Δ > 0, la retta interseca la circonferenza in due punti!

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Ora conosci tutto sull'equazione della circonferenza, dalle basi alle applicazioni avanzate!
Se vuoi mettere alla prova le tue abilità, prova a risolvere nuovi problemi e continua ad approfondire la geometria analitica.

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