Identità Trigonometriche: Guida Completa con Esercizi Risolti

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1) Introduzione
2) Cosa Sono le Identità Trigonometriche?
3) Identità Fondamentali
4) Identità di Somma e Differenza
5) Identità di Duplicazione e Bisezione
6) Identità di Prodotto-Somma
7) Esercizio Avanzato - Dimostrazione con Identità
7) Applicazioni delle Identità Trigonometriche
8) Conclusioni

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Le identità trigonometriche sono relazioni fondamentali che collegano seno, coseno, tangente e altre funzioni trigonometriche. Sono strumenti potenti in algebra, fisica e ingegneria e semplificano calcoli e risoluzione di equazioni.
Questa guida ti porterà dalle basi fino alle identità più avanzate, con spiegazioni chiare e esercizi risolti per ogni livello.

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Le identità trigonometriche sono uguaglianze vere per ogni valore di x nel dominio delle funzioni coinvolte. Servono per semplificare espressioni, risolvere equazioni e dimostrare teoremi.

Le principali categorie sono:
✔ Identità fondamentali
✔ Identità di duplicazione e bisezione
✔ Identità di somma e differenza
✔ Identità di prodotto e somma

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Le tre identità fondamentali della trigonometria sono:

Identità Pitagoriche
sin²(x) + cos²(x) = 1
1 + tan²(x) = 1/cos²(x)
1 + cot²(x) = 1/sin²(x)

Queste identità derivano direttamente dal teorema di Pitagora applicato al cerchio goniometrico.

Esercizio 1 - Verifica di un'Identità
Dimostra che:
sin²(x)/cos²(x) + 1 = 1/cos²(x)
Soluzione:
Usiamo l'identità pitagorica sin²(x) + cos²(x) = 1, dividiamo entrambi i membri per cos²(x):
sin²(x)/cos²(x) + cos²(x)/cos²(x) = 1/cos²(x)
tan²(x) + 1 = 1/cos²(x)

Quindi l'identità è verificata! ✅

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Queste identità permettono di calcolare il seno e il coseno di somme o differenze di angoli:
sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB
cos(A ± B) = cosAcosB ± sinAsinB
tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ± tanAtanB)

Esercizio 2 - Calcolo di sin75°
Usiamo l'identità della somma con 75° = 45° + 30°:
sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30°
Sostituiamo i valori noti:
= √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2
= √6/4 + √2/4 = (√6 + √2) / 4

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Le identità di duplicazione si usano per esprimere funzioni trigonometriche di 2x in termini di x:
sin(2x) = 2sinxcosx
cos(2x) = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x
tan(2x) = 2tanx / (1 − tan²x)

Esercizio 3 - Calcolo di cos2x con sinx = 3/5
Sappiamo che:
cos(2x) = 1 − 2sin²x
Calcoliamo sin²x:
sin²x = (3/5)² = 9/25
Ora:
cos(2x) = 1 − 2 · 9/25 = 1 − 18/25 = 7/25

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Queste identità trasformano un prodotto in una somma, molto utili in analisi e fisica:

sinAsinB = 1/2[cos(A − B) − cos(A + B)]
cosAcosB = 1/2[cos(A − B) + cos(A + B)]
sinAcosB = 1/2[sin(A + B) + sin(A - B)]

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Dimostra che:
(1 − cos2x) / sin2x = tanx
Soluzione:
Usiamo l'identità cos2x = 1 − 2sin²x:
(1 - (1 − 2sin²x)) / sin2x = 2sin²x / 2sinxcosx
Semplificando:
sinx / cosx = tanx

Identità verificata! ✅

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📌 Fisica: analisi delle onde, circuiti elettrici, meccanica rotazionale
📌 Ingegneria: elaborazione del segnale, calcoli strutturali
📌 Matematica avanzata: numeri complessi, Fourier, equazioni differenziali

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Ora conosci le identità trigonometriche principali e sai come applicarle. Se vuoi esercitarti ancora, prova a dimostrare altre identità o risolvere equazioni trigonometriche più complesse!

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